✅@2023-06-16T08:50D90 AM4-2023F-9
理論解析に用いるFourier積分変換を理解する。
Fourier積分変換と有限Fourier変換の関係を理解する。
前回
Fourier変換$ \hat X(\omega)=\int_\R X(t)e^{-i\omega t}\mathrm{d}t $ {\cal F}(\omega)とも書く
Fourier逆変換$ X(t)=\frac1{2\pi}\int_\R \hat X(\omega)e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega 本当に$ \frac1{2\pi}\int_\R \int_\R X(t')e^{-i\omega t'}\mathrm{d}t'e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega=X(t)になるかを$ X=e^{-at^2}で確かめた
$ \because \frac1{2\pi}\int_\R \int_\R X(t')e^{-i\omega t'}\mathrm{d}t'e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega
$ =\frac{1}{2\pi}\int_{\R^2}X(t)e^{i(t-t')\omega }\mathrm{d}t'\mathrm{d}\omega
$ =\frac{1}{2\pi}\int_{\R^2}e^{i(t-t')\omega -at'^2}\mathrm{d}t'\mathrm{d}\omega
$ =\frac{1}{2\pi}\int_{\R^2}e^{it\omega -a\left(t'+\frac{i\omega}{2a}\right)^2+\left(\frac{i\omega}{2a}\right)^2}\mathrm{d}t'\mathrm{d}\omega
複素関数論でも、結局2次函数に落とし込んで評価したりする ちなみに、$ \pm i\omega tでも同じ結果になる
$ =\frac{1}{2\pi}\int_{\R}e^{it\omega }e^{\left(\frac{i\omega}{2a}\right)^2}\int_\R e^{-a\left(t'+\frac{i\omega}{2a}\right)^2}\mathrm{d}t'\mathrm{d}\omega
$ = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac\pi a}\int_\R e^{it\omega }e^{\left(\frac{i\omega}{2a}\right)^2}\mathrm{d}\omega
$ = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac\pi a}\int_\R e^{-\frac1{4a^2}\left(\omega^2-4ia^2t\omega\right)}\mathrm{d}\omega
$ = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac\pi a}\int_\R e^{-\frac1{4a^2}\left(\omega-2ia^2t\right)^2-\frac{4a^4t^2}{4a^2}}\mathrm{d}\omega
$ = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac\pi a}e^{-\frac{4a^4t^2}{4a^2}}\int_\R e^{-\frac1{4a^2}\left(\omega-2ia^2t\right)^2}\mathrm{d}\omega
$ = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac\pi a}\sqrt{4a^2\pi}e^{-a^2t^2}
なーんかずれたな
さて、$ \int_\R e^{-at^2}\mathrm dx=\sqrt{\frac\pi a}である
これを使って
$ {\cal F}\left(t\mapsto e^{-at^2}\right)=\sqrt{\frac\pi a}e^{-\frac{\omega^2}{4a}}
Gauss函数のパラメタが、$ a\to\frac{1}{4a}に狭まった ($ a>1のとき)
一般的な変換ー逆変換の証明
$ {\cal F}(X)=\int_\R X(t)e^{-i\omega t}\mathrm{d}tに対して、
$ X_\varepsilon(t):={\cal F}^{-1}\left((\omega\mapsto {\cal F}(X)(\omega)e^{-\varepsilon t^2}\right)
$ = \frac1{2\pi}\int_\R{\cal F}(X)(\omega)e^{-\varepsilon t^2}e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega
として、$ X_\varepsilon(t)\to X(t)\quad(\varepsilon\to0)を示す
Gauss形のFourier変換の知識を使う
そのうち証明したいtakker.icon
今はcomuputerで高度な解析ができるが、昔はそんな性能なかった
かなり単純なモデルで解析した
https://kakeru.app/0a33eb2e153c2b62e8d33efee28b6192 https://i.kakeru.app/0a33eb2e153c2b62e8d33efee28b6192.svg
https://kakeru.app/1f8528d5a38f1302c9db22e75bf221d7 https://i.kakeru.app/1f8528d5a38f1302c9db22e75bf221d7.svg
相対変位を無視して立式すると
$ m\ddot x+c\dot x+kx=f(t)
$ \hat x(\omega):={\cal F}(x)(\omega)とする
講義でも、ここから$ \hat\bulletの代わりに$ \cal Fを使っていくようだ
$ {\cal F}(\dot x)(\omega)=\int_\R\dot x(t)e^{-i\omega t}\mathrm dt
$ = \int_{t\in\R}e^{-i\omega t}\mathrm dx
$ = [xe^{-i\omega t}]_{-\infty}^\infty+i\omega\int_\R xe^{-i\omega t}\mathrm dt
$ = 0+i\omega\int_\R xe^{-i\omega t}\mathrm dt
ここで、$ x\in C^\inftyとして、$ x^{(n)}(t)\to0\quad(t\to\infty)だとする
減衰する振動を仮定している
超函数まで考慮すれば、不連続性が入っていても$ C^\inftyと見なせる？takker.icon これにより
あれ？$ x(t)e^{-i\omega t}\to0\quad(t\to-\infty)でいいの？
指数関数より強い函数でないと成り立たない
例：$ \lim_{t\to\infty}x(t)e^{-at^2}=0
$ xは任意の多項式
$ = i\omega{\cal F}(x)(\omega)
以上より、微分法則が一つ求まった
$ \therefore {\cal F}(\dot x)=i\omega{\cal F}(x)
次元も問題なしtakker.icon
高階微分のとき
$ {\cal F}(\ddot x)=i\omega{\cal F}(\dot x)=-\omega^2{\cal F}(x)
さっき定義した$ xの性質より、$ \dot x(t)\to0\quad(t\to\infty)となることを式中で使っている